Встречайте: "Медицинская физика для начинающих" и "Урматы для начинающих"
nabbla1
DSC_4608.JPG
Приехали книжечки, уже довольно давно, но мне хотелось их хоть сколько-нибудь прочитать, чтобы сказать что-то дельное по их поводу. К сожалению, не являюсь специалистом по медицинской физике, да и урматы по большей части прошли "мимо меня". Нет, я отчетливо помню, как довёл до автоматизма решение задачек на уравнение Бесселя, где ответ в виде суммы ряда получается длиннее самого решения, и пару раз применил-таки познания на практике, но особой любви как-то не получилось.

И сейчас вот открыл книгу, увидел в самом начале "классификацию уравнений в частных производных", и на меня нахлынули воспоминания, как я пытался, возращаясь на электричке из МФТИ, осилить выкладки со сдвоенными суммами и толпой частных производных, и каждый раз засыпал напрочь - какое-то это чтиво ну совсем не электричковое.

А ведь поговаривают, что и Лифшиц вот так вот ехал на электричке, правил рукописи Ландау, заснул, несколько страниц выкладок выпали из его рук и завалились под лавку. Уже дома обнаружив пропажу, он не стал унывать, написал "очевидно, что... " и продолжил как ни в чём ни бывало.

По счастью, авторы, про которых сегодня пойдёт речь, так не поступают!
Read more...Collapse )

Истинный перевод слова "кватернион"
nabbla1
"Четверной" - не звучит. "Четыре срока" - прикольно, вот кого надо ставить у руля космического аппарата, но всё же не то.

Сейчас понял, как надо: четырёхтактник!

После этого вопрос, почему за 360° состояние меняется на противоположное, а полный цикл занимает 720°, должен автоматически отпасть! А то придумают, в самом деле, спинор Дирака, динор Спирака, чёрт бы побрал их обоих!

Нашествие лайкоботов
nabbla1
- Кто это тут лайкает?
- С тобой, свинья, не лайкает, а разговаривает капитан Жеглов!


Наблюдаю новое поверье в ЖЖ: с пустого (или почти пустого) аккаунта ставится лайк к рандомным записям, обычно к самым свежим. Записи, если и есть - на английском языке, очень древние, некий "лытдыбр". Профиль практически пустой, но местоположение - Челябинская область, а в строке "о себе" одна-единственная ссылочка на какую-то "клубничку", причем даже не подсвеченная - сработать сможет только если её выделить, скопировать и ввести в адресную строку.

Не очень понимаю смысла - что это даёт? В принципе, идея здравая, написать комментарий "по существу" сложно к любой теме, а лайкнуть - уже можешь человека заинтересовать. "Ух ты, кто-то интересуется кватернионами, и это не те трое, кого я знаю!? А ну-ка, кто этот человек?" Но дальше исполнение топорное, конечно. Предложили бы, что ли, я извиняюсь, Хирша увеличить, или бензопилу с полотном на 90 см - вот это я бы понял, причем можно же дофига аккаунтов зарегистрировать, и каждый тематический, и лайкает "адресно"!

UPD. Ровно сегодня их всех, видимо, забанили - аккаунты стали перечеркнуты.

Ликбез по кватернионам, часть 10: Интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка
nabbla1
Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8, дополнение
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов

Снова весьма "оригинальный" материал, который найти не так-то просто. Автор поначалу и не нашёл - вывел сам, получил улучшение в 4000 раз, обрадовался, начал писать статью и искать подходящий рецензируемый журнал, а 3 дня спустя всё-таки нашёл этот материал в статье 1986 года. Ну тут сложно обижаться - автор не успел бы опубликоваться раньше при всём своём желании!

Методы второго порядка

Разумеется, нам всегда хочется большего. Попробуем дать чуть лучшую аппроксимацию истинному кватерниону поворота:
p9p2eq1.png

Осторожно, спойлеры!
Read more...Collapse )

Осталось обсудить методы интегрирования более высоких порядков, и разобраться: а какой же из них применять? И практические примеры.

Ликбез по кватернионам, часть 9: интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
nabbla1
Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8, дополнение
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов

- Старик не согласен со мной. - Он вздохнул. – Немного отстал от жизни, вот в чем дело. Цепляется за свою обожаемую матричную механику, а этот вопрос требует более мощных математических средств. Он так упрям.

- Вы применили переходное уравнение
Митчелла, верно? Так вот, оно здесь неприменимо.
- Почему?
- Во-первых, вы пользуетесь гипермнимыми величинами.

Айзек Азимов, «Я, робот» - «Лжец»


Давайте рванём с места в карьер и сразу рассмотрим пример из прошлой главы. Мы начинаем с единичного кватерниона Λ0=1 (нулевой поворот), после чего начинаем вращение, по 5° за шаг, вокруг оси Z.
В самом простом методе интегрирования – в методе первого порядка – мы просто заявим: угол поворота за один шаг достаточно мал, чтобы применить формулу кватерниона бесконечно малого поворота (3.1):
9quat_eq1.png
Read more...Collapse )

В следующей части мы обсудим методы интегрирования второго порядка и выше, после чего пора будет переходить к практическим примерам. А помните, как я надеялся обойтись тремя частями?

Ликбез по кватернионам, часть 8 (дополнение)
nabbla1
Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8, дополнение
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Ещё пара замечаний по матрицам поворота.

В статье (http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Nearest_Orthonormal_Matrix.pdf ) приводится метод нахождения ортогональной матрицы, наиболее близкой к имеющейся, по крайней мере в смысле нормы Фробениуса (т.е близость матриц оценивается суммой квадратов разностей их компонентов). Метод довольно сложный - он требует довольно экзотической операции "извлечение квадратного корня из матрицы", что, в свою очередь, требует нахождения собственных значений и собственных векторов. Автор не обещает, что получившийся базис вообще будет правым, он может в особо запущенных случаях оказаться левым (такая матрица будет выражать не поворот, а отражение от некоторой плоскости), и вообще, всячески оправдывается - "я это сделал чисто по приколу, никому не советую это использовать, лучше считайте в кватернионах и не выпендривайтесь!"

Упомянём ещё один довольно экзотический метод описания поворотов (или ориентации в пространстве, что то же самое), требующий шести чисел. Мы берём первые два столбца матрицы – два базисных вектора связанной системы координат – поскольку третий может быть в любой момент восстановлен с помощью векторного произведения первых двух. Тогда "лишних" переменных остаётся всего три, и нужно 3 уравнения связи: оба вектора должны иметь единичную длину и располагаться перпендикулярно друг к другу. Путём некоторого усложнения метода интегрирования удаётся поддерживать эти условия. За подробностями отсылаю всё к той же книге Бранца и Шмыглевского «Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела (1973)».
«Как нетрудно догадаться» (© Ландау-Лифшиц), нас интересует §4.7 «Стабилизация модуля и угла в уравнениях Пуассона».

Почувствуй себя пушинкой - 2
nabbla1
Всю прошлую зиму у меня шёл пилатлон - из-за ледяного дождя повалило рекордное количество деревьев, завалив все наши лыжные трассы в подмосковье, надо было всё это дело расчистить.

Летом был ураган, но, как ни странно, сильных завалов он уже не вызвал - видимо, все плохо "закреплённые" деревья были уже свалены ледяным дождём, а остались самые стойкие, которым ураган нипочём. Так что в этом году расчищать уже ничего не пришлось, разве что самую малость.

А душа уже просит подвигов - разве ж это интересно за 3 часа пробежать по лесу и вернуться домой!? Поэтому 24-го февраля впервые после 10-летнего перерыва я пошёл на марафон "100 километров за один день", правда, пока на более "детскую" дистанцию в 68 км, по тем самым местам, которые мы так упорно чистили. Интересно же, что из этого труда получилось!

Мне и номерок дали, всё как положено!
MeOnUltraMarathon.jpg

Read more...Collapse )

Рассекреченный документ про кватернионы
nabbla1
Наткнулся на такую замечательную штуку: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/p003621.pdf

это, если что, Defense Technical Information Center - Центр технической информации министерства обороны США.

Судя по всему, текст в техническом плане весьма грамотный, излагает всё необходимое для построения бесплатформенной системы ориентации на основе матриц поворота либо кватернионов.

Но что здесь творится с правописанием - не могу понять. Это что, товарищ был ранним апологетом олбанского?
DTIC_grammar_nazi.png

Мне представляется эдакий эмигрант из России, с жутким акцентом, который очень хорошо устроился и надиктовывает этот текст своей секретарше, тоже не местной, и очень пугливый корректор, который когда-то случайно исправил "Энтальпия" на "Энтропия" и "Efficacy" на "Efficiency", за что был подвергнут публичной порке и теперь на всякий случай ничего не трогает - вдруг так и задумано?

А может, это шифр, которым агент слал послания домой?

Или первые неудачные попытки все архивы зажать в десятки раз с помощью супер-эффективного алгоритма JBIG2, но порог был выставлен неправильно, и он в итоге перепутал все буквы? Похожая штука бывает в djvu, обычно страдают буквы "н" и "и" - случайным образом одна заменяется на другую. Но в тексте выше в основном перепутаны "a" и "e" - вроде бы они не очень похожи. Пока я слышал о том, как Xerox при сканировании рандомно заменял цифры 6 и 8: http://www.dkriesel.com/en/blog/2013/0802_xerox-workcentres_are_switching_written_numbers_when_scanning

Ликбез по кватернионам, часть 8: интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
nabbla1
Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8, дополнение
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Интегрирование угловых скоростей с помощью матриц поворота

Продолжаем нашу предвыборную гонку - какой интегратор угловых скоростей займёт своё законное место у руля (в буквальном смысле) нашего изделия?

Мы уже накопали компромата на углы Эйлера-Крылова - это конечно уважаемые и достойные фамилии, но очень уж старенькие - задрать голову в зенит не могут, сразу начинает голова кружиться, да и подвешенные вниз головой резко теряют работоспособность. Да и вообще, уголовники (системы, основанные на углах) нам не нужны!

Сегодня мы рассмотрим матрицы поворота - 9 направляющих косинусов не могут ошибаться, не правда ли?

Read more...Collapse )
Poll #2078927 Кого поставить у руля космического аппарата?

Что вы выберите для интегрирования угловых скоростей

Углы Эйлера/Крылова
0(0.0%)
Матрицы поворота
0(0.0%)
Кватернионы / гиперкомплексные числа
3(50.0%)
Я человек простой: просуммирую по каждой оси, придумают тут хрень всякую!
2(33.3%)
Против всех: это нарушение свободы космического аппарата!
1(16.7%)
Другое (напишите в комментах)
0(0.0%)

Ликбез по кватернионам, часть 7: интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
nabbla1
Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8, дополнение
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Интегрирование угловых скоростей

Вот мы, наконец, и подобрались к главному назначению кватернионов – к той задаче, которую они выполняют наиболее достойно и где альтернативы им не предвидится.

Для начала мы попинаем дохлую лошадь, в смысле, углы Эйлера и Крылова, надо же понять, что заставило людей изучать и применять такую эзотерическую вещь, как кватернионы (три мнимые единицы, четырёхмерное пространство, половинные углы) - разве нельзя было обойтись курсом-креном-тангажом!?

Задача такова: мы знаем ориентацию нашего изделия в начальный момент времени, и у нас есть датчики угловой скорости (ДУСы). Это могут быть старомодные механические датчики, основанные на гироскопах (именно их неправильно смонтировали на печально известном «Протоне»), либо микроэлектромеханические (MEMS) датчики, либо более точные волоконно-оптические, либо лазерные. Последние два упорно называют гироскопами, и действительно, свет там бежит по кругу, но это название всё равно не вполне корректно. Пользуясь показаниями этих датчиков, мы должны отслеживать, какой именно поворот совершило изделие, иными словами, отслеживать его ориентацию.

Надеемся, что читателю уже понятно, что накапливать углы независимо по каждой из оси датчиков – подход совершенно неверный. Возьмём для примера поворот самолёта, рассмотренный в главе 2.

Первоначально самолёт летел с нулевым креном, тангажом и курсом. Затем он совершил поворот на 90 градусов по крену, после чего на 90 градусов по курсу. Как мы увидели ранее, после этих двух поворотов самолёт начал лететь вертикально вниз, то есть его тангаж стал равен -90°, хотя непосредственно по оси тангажа мы вообще не производили поворотов!
Read more...Collapse )

PS. Поздравим с днём рождения heana_costre, звездочёта, одну из постоянных читательниц этого "талмуда" про кватернионы!

?

Log in

No account? Create an account