May 4th, 2016

В поисках утраченной симметрии

Рассмотрим одномерный сигнал f(x) и его спектр F(w), а также двумерный сигнал f(x,y) и его пространственный спектр F(wx,wy), работаем в комплексных числах.

Как правило, симметрия в пространственной области будет так или иначе проявляться и в частотной:

Если f(x) действительный, то F(-w)=F*(w), т.е спектр в области отрицательных частот является избыточным, его можно восстановить из спектра в области положительных частот.

Если f(x,y) действительный, то F(-wx,-wy)=F*(wx,wy), т.е из 4 квадрантов независимыми будут только два.

Если f(x) обладает четной симметрией, f(-x)=f(x), то четной симметрией будет обладать и спектр.
Если f(x) ещё и действительный, то и спектр будет действительным.

Если f(x) обладает нечетной симметрией, f(-x)=-f(x), то нечетной симметрией будет обладать и спектр.
Если f(x) при этом является действительной функцией, то спектр будет чисто мнимым.

Если f(-x,y)=f(x,y), то F(-wx,wy)=F(wx,wy),
аналогично, если f(x,-y)=f(x,y), то F(wx,-wy)=F(wx,wy).
Наконец, если сигнал является действительным и обладает чётной симметрией по обеим осям, то спектр тоже будет являться действительным и чётным по обеим осям.



Эти (и похожие) свойства симметрии интуитивны и легко запоминаются. Действительно, если мы находим дифракцию на симметричном объекте, мы ожидаем той же симметрии и в картине дифракции, иначе получается абсурд - мы произведем поворот отверстия, переводящий его в себя, картина дифракции повернется и не совпадёт с исходной - противоречие.

Именно с этого и началась когда-то моя работа по расчету дифракции на сотовой бленде. Каково же было моё удивление, когда БПФ от идеально симметричной апертуры лишилось этой симметрии чуть менее чем полностью!

Возьмём предельно упрощенный случай, чтобы уловить суть проблемы, а именно: поле 4х4, посередине квадрат 2х2:

table1.png

Лучшего сложно пожелать:

  • Значения строго действительные

  • Чётная симметрия вокруг горизонтальной оси, сверху и снизу от неё равное количество отсчётов, по 8

  • Чётная симметрия вокруг вертикальной оси, слева и справа от неё равное количество отсчётов, по 8

  • Чётная центральная симметрия, что, в общем-то вытекает из предыдущих двух пунктов



Кажется, что и БПФ от этого изображения должен быть действительным и обладать четной симметрией по двум осям. Ага, щас:
table2.png
Симметрии нет НИ ОДНОЙ!

Collapse )

У меня есть объяснение, что же здесь случилось, в скором времени попробую "с божьей помощью" (а точнее, с помощью двух богов из разных пантеонов, это подсказка!) нарисовать красивую картинку, объясняющую, куда ж запрятались все симметрии и как их вернуть на место. А пока можете предложить свои объяснения, задача сформулировать это предельно "на пальцах" до сих пор остра, в неё упирается любая попытка обосновать преимущества уравновешенного троичного БПФ перед своим бинарным собратом.