July 16th, 2018

Ликбез по кватернионам, часть 6 2/4: поворот, совмещающий два направления

Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 5 1/2 - введение метрики, "расстояния" между поворотами
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 6 1/4 - кратчайший поворот в общем случае
Часть 6 2/4 - поворот, совмещающий два направления
Часть 6 3/4 - кватернион из синуса и косинуса угла
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8 1/2 - ортонормирование матрицы и уравнения Пуассона
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка
Часть 10 1/2 - интегрирование с поддержанием нормы
Часть 11 - интегрирование угловых скоростей, методы высших порядков (в разработке)
Часть 12 - навигационная задача
Часть 13 - Дэвенпорт берёт след!
Часть 14 - линейный метод Мортари-Маркли
Часть 15 - среднее от двух кватернионов
Часть 15 1/2 - проверка и усреднение кватернионов
Часть 16 - разложение кватерниона на повороты

И ещё один кусочек "рукописи", который я дописал в тот момент, когда начал в ЖЖ выкладывать интегрирование угловых скоростей (части 7 - 10), и вклинивать туда "чужеродный элемент" не хотелось. А сейчас вроде даже логично...

Кватернион поворота по заданной оси, наиболее точно совмещающий два направления

Данная задача возникает при моделировании работы датчика инфракрасной вертикали в связке с солнечным датчиком и похожих систем (например, солнечно-звездные датчики времён Королёва), где первоначально происходит наведение на первый объект, а затем начинается вращение вокруг линии визирования на этот объект, пока второй объектив не наведётся на второй объект.

В общем случае, у нас есть два направления, на которые мы хотим навестись одновременно, при этом важность их различна. Мы должны выдерживать второе направление лишь до тех пор, пока это не вредит наведению на первое. К примеру, не страшно, если спутник ГЛОНАСС получит на 10% меньше мощности на солнечные батареи, из-за падения солнечных лучей под углом 25° к нормали солнечных батарей (они на это рассчитаны), а вот если диаграмма направленности передатчиков навигационного сигнала уползёт от Земли на 25°, кого-то точно уволят!

Пусть - единичный вектор направления на первый объект, – текущее направление второго объектива, – направление на второй объект. Мы хотим:

1. Найти угол φ, на который надо произвести поворот вокруг оси , чтобы вектор (повёрнутый ) максимально точно совместился с ;
2. Записать кватернион Λ соответствующего поворота.

Collapse )
Скоро и до современных звёздных датчиков доберёмся.