August 3rd, 2021

Ликбез по кватернионам, часть 10 1/2, интегрирование с поддержанием нормы

Часть 1 - история вопроса
Часть 2 - основные операции
Часть 3 - запись вращения через кватернионы
Часть 4 - кватернионы и спиноры; порядок перемножения
Часть 5 - практическая реализация поворота
Часть 5 1/2 - введение метрики, "расстояния" между поворотами
Часть 6 - поворот по кратчайшему пути
Часть 6 1/4 - кратчайший поворот в общем случае
Часть 6 2/4 - поворот, совмещающий два направления
Часть 6 3/4 - кватернион из синуса и косинуса угла
Часть 7 - интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова
Часть 8 - интегрирование угловых скоростей, матрицы поворота
Часть 8 1/2 - ортонормирование матрицы и уравнения Пуассона
Часть 9 - интегрирование угловых скоростей с помощью кватернионов
Часть 10 - интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка
Часть 10 1/2 - интегрирование с поддержанием нормы
Часть 11 - интегрирование угловых скоростей, методы высших порядков (в разработке)
Часть 12 - навигационная задача
Часть 13 - Дэвенпорт берёт след!
Часть 14 - линейный метод Мортари-Маркли
Часть 15 - среднее от двух кватернионов
Часть 15 1/2 - проверка и усреднение кватернионов
Часть 16 - разложение кватерниона на повороты

Когда мы говорили об интегрировании угловых скоростей с помощью кватернионов, мы описывали разные способы задать "кватернион малого поворота", и затем всё интегрирование состояло в умножении кватерниона текущей ориентации на этот кватернион малого поворота. При этом говорилось, что норма кватерниона при этом может немного "ползти", обычно в сторону увеличения, и нужно его нормировать, иначе быть беде.

Но есть ещё класс методов, где "кватернион малого поворота" строится не только по показаниям датчиков, но ещё и по текущей норме кватерниона ориентации, с тем расчётом, чтобы поддерживать норму единичной, поэтому специально проводить нормировку не требуется!

Рассмотрим только метод первого порядка. Наш текущий кватернион ориентации: Λnn0n1i+λn2j+λn3k. За время Δt мы измерили угловую скорость ω. Тогда мы построим кватернион малого поворота Μ следующим образом:



То есть, в действительной (скалярной) части вместо единице (как в обычном методе первого порядка) ставим величину, обратную к норме текущего кватерниона ориентации, а в мнимой (векторной) части - как обычно, половинка от вектора конечного поворота.

Collapse )