nabbla (nabbla1) wrote,
nabbla
nabbla1

Category:

Воистину короткое доказательство, что двух мнимых единиц - мало

Если помните, Гамильтон в течение десяти лет пытался придумать числа с двумя "мнимыми единицами", которые описывали бы поворот в пространстве, и у него ничего не получалось.

В самом начале "ликбеза по кватернионам" я привёл одно из самых простых доказательств, что этого не может быть. Простое в том плане, что читатель вовсе не обязан понимать всякие весёлые термины из теории групп и прочей абстрактной алгебры - надо лишь помнить, что такое собственные значения и собственные вектора.

Но сейчас я покажу вам доказательство совсем в три строчки, уровня средней школы :) Правда, мы рассматриваем частный случай, когда мы решили дополнить комплексные числа a+bi (как обычно, i2=-1) ещё одной "мнимой единицей", j. Оказывается, что как бы мы ни вводили правила относительно j, то есть, чему равно j2, чему равно ij и ji - результат будет всегда один - полученные числа не будут обладать ассоциативностью, т.е

a(bc) ≠ (ab)c,

а это очень и очень паршиво - повороты себя так не ведут!

Думаю эту штуку включить в книгу в качестве упражнения, с непременным ответом в конце книги.


Хоть мы и не знаем, чему равно ij, но оно явно должно выражаться через действительную часть и две мнимых единицы:

ij = α0 + α1i + α2j, (1)

где αn - действительные числа.

Помножим это равенство слева на i:

i·ij = α0i - α1 + α2ij.

Предположим, что данные числа обладают свойством ассоциативности. Тогда, мы имеем право в левой части сначала помножить между собой два i, а только потом результат умножить на j. Тем временем, в правой части вместо ij подставим его выражение через (1):

-j = α0i - α1 + α201i+α2j).

Это должно быть тождеством, а значит, в том числе, коэффициенты при j в левой и правой части должны быть равны:

-1 = (α2)2,

чего при действительной α2 быть просто не может. Мы пришли к противоречию, следовательно, ассоциативность не соблюдается.


"Слабость" этого доказательства в том, что мы непременно хотели "надстройку" над комплексными числами, а это вещь весьма и весьма специфическая! Обобщить результат, думаю, можно, но придётся попотеть. Показать, что любые гиперкомплексные числа с двумя компонентами так или иначе сводятся либо к комплексным, либо к дуальным (i2=0), либо к двойным числам (i2=1), причём последние два типа для описания поворотов уже заведомо не годятся.


PS. Если четырёхкомпонентные числа - это кватернионы, то трёхкомпонентные, над которыми Гамильтон так долго мучился - это тернионы (тернарный, терция - число три). Если так, то девизом Гамильтона был:

Через тернионы - к кватернионам, а потом к звёздам!
Tags: кватернионы-это просто (том 1), математика, работа
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Формулы приведения, что б их... (и atan на ТРЁХ умножениях)

    Формулу арктангенса на 4 умножениях ещё немножко оптимизировал с помощью алгоритма Ремеза: Ошибка уменьшилась с 4,9 до 4,65 угловой секунды, и…

  • Алгоритм Ремеза в экселе

    Вот и до него руки дошли, причина станет ясна в следующем посте. Изучать чужие библиотеки было лениво (в том же BOOSTе сам чёрт ногу сломит), писать…

  • atan на ЧЕТЫРЁХ умножениях

    Мишка такой человек — ему обязательно надо, чтоб от всего была польза. Когда у него бывают лишние деньги, он идёт в магазин и покупает какую-нибудь…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 7 comments