nabbla (nabbla1) wrote,
nabbla
nabbla1

Categories:

Теоретический К.П.Д солнечных батарей, глава 1

Глава 1: чернее черного

Единственный способ обнаружения пределов возможного состоит в том, чтобы отважиться сделать шаг в невозможное.
Артур Кларк


Чаще всего отважный шаг завершается глухим ударом головы об стену, но это очень полезный процесс - "своей головой" удается прочувствовать этот предел, понять его природу. Этим мы сейчас и займемся, попытаемся в очередной раз нарушить второй закон термодинамики и сделать вечный двигатель второго рода, двигатель, извлекающий механическую работу из равновесной системы, охлаждая её. Вечным двигателем второго рода можно назвать и агрегат, который заставил бы более холодное тело отдавать тепло более горячему без какого-либо притока энергии извне.

Одним из таких мысленных экспериментов был демон Максвелла, стороживший проход между двумя сосудами с газом. Пропуская в одну сторону лишь быстрые молекулы, а в другую - лишь медленные, он мог "на ровном месте" создать разность температур, потребляя для этого пренебрежимо мало энергии. Оказалось - не выйдет, этот чертяка в темноте не сможет отличить медленные молекулы от быстрых. Ему надо включить свет такой интенсивности и длины волны, чтобы молекулы с ним взаимодействовали. В итоге на организацию "рабочего места" мы затратим столько энергии, сколько затратили бы, перекачивая тепло более привычными методами (по обратному циклу Карно). Данный мысленный эксперимент помог найти взаимосвязь между энтропией (она изначально вводилась феноменологически в термодинамике, как один из макроскопических параметров системы) и информацией. Долгое время этот мысленный эксперимент считался просто хорошим методическим пособием, пока пару лет назад такую конструкцию не выполнили в железе. Как оказалось, это весьма недурная тепловая машина, но, разумеется, "законопослушная".

Фейнман в своих лекциях рассматривал другой способ "обмануть" 2-й закон: поставить храповик и собачку. Случайные удары молекул газа пытаются двинуть храповик то в одну, то в другую сторону, собачка же заставляет его крутится только в одну - бинго! Но и из этого "ничего не получилось".

А мы начнем с вечного двигателя 2-го рода, основанного на полном внутреннем отражении. Возьмем для начала две абсолютно черные пластины, излучающие по Ламбертовскому закону, помещенные в вакуум и посеребренные с внешней стороны, так что туда излучение не идет. Сбоку тоже поставим зеркальца, так что все излучение может быть сосредоточено только в полости между пластинами. Пластины изначально были нагреты до комнатной температуры (300К). С каждой из них идет равновесное тепловое излучение на соседнюю пластину, и, разумеется, мы наблюдаем тепловое равновесие, ничего другого и быть не может. Но теперь приклеим к нижней пластине стекло с показателем преломления около 1.5:



Происходит интересная вещь: равновесное тепловое излучение с верхней пластины может беспрепятственно проходить к нижней и поглощаться ею (на рисунке обозначено зеленым), но далеко не все лучи с нижней пластины могут достигнуть верхней. Те лучи (обозначенные красным), угол которых к нормали больше критического (nsinθ>1), испытают полное внутреннее отражение и снова будут поглощены плоскостью.

В [1-8] (а вообще, разумеется, много где) приводится формула излучения абсолютно черного тела:



где R – лучистый поток на единицу поверхности (Вт/м2), σ - постоянная Стефана-Больцмана, ℏ- постоянная Планка, kб - постоянная Больцмана. В [6,7] также сообщается, что c-скорость света в вакууме, в остальных книгах раскрывать смысл буквы c не считают нужным. Но что излучение А.Ч.Т определяется формулой указанной выше и что постоянная Стефана-Больцмана действительно постоянная - согласны все)

Значит, раз обе пластины излучают одинаково, все излучение с верхней пластинки достигает нижней, но не наоброт, то в результате верхняя пластинка должна охладиться, а нижняя - нагреться, вполне себе самопроизвольно. Что, неужели вечный двигатель? Как-то не верится...

Можно возразить, что далеко не весь свет перейдет из вакуума в стекло, часть переотразится в соответствии с формулами Френеля. Но, во-первых, они не избавляют от найденного нами дисбаланса. Например, при нормальном падении коэффициент отражения равен



и одинаков независимо от того, падает ли луч сверху или снизу (если поменять местами индексы, результат не изменится). Во-вторых, частичное отражение на границе двух сред можно подавить, просветляя оптику. Дело явно в чем-то другом.

То, как тело, погруженное в воду "чернеет", знает любая домохозяйка. Взяли белую тряпку, смочили, и она потемнела, потому что часть диффузно отраженного от поверхности света испытывает полное внутреннее отражение, снова попадает на тряпку и снова диффузно отражается. Весь вопрос - что будет с абсолютно черным телом, что помешает ему стать Охрененно Черным Телом, поглощающим свет и не возвращающим его обратно?

Не зря на такую простую вещь, как формула излучения А.Ч.Т я дал столько библиографических ссылок. Дело в том, что все эти источники (даже Ландафшиц) умалчивают одну принципиальную вещь: мощность излучения А.Ч.Т пропорциональна квадрату показателя преломления той среды, в которое оно помещено. Так оно и получится, если в качестве с в знаменателе подставить не скорость света в вакууме, а скорость света в среде, куда помещено рассматриваемое тело! У Сивухина чуть ранее приводится формула Кирхгофа-Клаузиуса, где показатель преломления вводится непосредственно: плотность энергии излучения пропорциональна n3. Но потом идет формула Релея-Джинса, формула Вина и после этого, финальным аккордом, формула Планка. На протяжении нескольких глав не уточняется, что такое c, затем оно вводится внутрь постоянной Стефана-Больцмана, что как бы означает, что и она сама постоянная. Ландафшиц в начале вывода сказал, что вывод годится и для излучения в среду, если взаимодействие не очень сильное, но потом ни разу не было сказано, какое c имеется в виду, а под конец оно спокойненько убралось внутрь постоянной Стефана-Больцмана)

Легко показать, что если мы видоизменим формулу Стефана-Больцмана:

Rв среду=n2 σT4

то тепловое равновесие будет соблюдаться. Для этого найдем, какая доля излученной с нижней пластины энергии проходит на верхнюю. Как мы и условились, свет с поверхности излучается по закону Ламберта, тогда сила излучения (лучистый поток на единицу телесного угла) под углом θ от нормали составит

I=1/π Rв среду cosθ

Но только при θ<θкрит=arcsin 1/n свет сможет пройти через границу двух сред, не испытав полного внутреннего отражения. Проинтегрируем силу излучения по телесному углу, введя параметризацию:



то есть с нижней пластины на верхнюю идет ровно тот же поток энергии, как и прежде, пока мы не поставили стекло.

Зная теперь, какой нам нужен ответ, можно «подогнать» под него вывод закона излучения абсолютно черного тела. Скорость света появляется там в двух контекстах. Один раз – под самый конец, когда надо из плотности энергии излучения получить ее поток: R=cρ/4, где ρ – плотность энергии. Эта формула справедлива для любого идеального газа, надо только подставить среднюю скорость частиц.

Второй раз - когда мы считаем число возможных состояний фотона с заданной энергией ℏω и используем для этого соотношение между энергией и импульсом фотона: E=ℏω=c|p|. Если и здесь подразумевать скорость света в среде, мы придем к правильному ответу, но обосновать это не так-то просто. Если подумать, формула-то абсолютно безумная!

Во-первых, ведь фотон – это безмассовая частица, и она обязана всегда двигаться со скоростью света в вакууме, и никак иначе! Как же ему удалось замедлиться, попав в среду? И второе: энергия фотона при этом не поменялась, а вот импульс увеличился, был E/c0, а стал nE/c0. Весьма необычное поведение.

По-видимому, правильный ход рассуждений таков. При выводе законов излучения А.Ч.Т в вакуум мы рассматриваем идеальный фотонный газ: фотоны не взаимодействуют ни со средой (только со стенкой, нагретой до определенной температуры), ни друг с другом. У нас же взаимодействие есть: падающий свет возбуждает колебания в атомах среды, отчего они тоже начинают излучать свет, но сдвинутый по фазе. Если теперь найти суммарное поле, как суперпозицию исходной падающей волны и переизлучений отдельных атомов, это будет выглядеть в точности так, как будто бы фазовая скорость снизилась до величины c0/n (см. Фейнмановские лекции по физике, т.3 гл. 31). На языке квантовой механики же придется вводить квазичастицу поляритон, которая представляет собой взаимодействующий со средой фотон. Движется он всегда с одной скоростью – скоростью света в среде (пока мы не введем дисперсию света, поглощение и прочие нехорошие вещи), а энергия и импульс связаны соотношением E=ℏω=c|p|. Теперь мы можем с чистой совестью рассматривать идеальный поляритонный газ и прийти, наконец, к необходимому ответу.

Что же до увеличившегося импульса, то этому парадоксу уже более 100 лет: еще в начале 20-го века шел спор, чему равен импульс электромагнитного поля. Минковский (учитель Эйнштейна) считал, что nE/c0, а Макс Абрагам - что E/nc0. Ставились эксперименты, в одних подтверждалась одна точка зрения, в других – другая. По статьям 2010 года получается, что «победила дружба» - обе формулы верны, весь вопрос лишь в том, что мы называем импульсом.

Думаю, понятно теперь, почему в учебниках физики не хотят приводить формулу излучения А.Ч.Т в среде – привести-то можно, но строгое доказательство займет слишком много места, а студенты взвоют. Мне кажется, однако, что его хотя бы стоило упомянуть, потому что и я, и все мои знакомые до совсем недавнего времени полагали, что приводимая в учебниках формула является абсолютно точной, применимой в любых условиях. Пока я знаю только одну книгу, где необходимые комментарии сделаны – [9]. Что интересно, в эпохальных работах Планка, где он предложил квантовать свет и получил свою знаменитую формулу со столь же знаменитой постоянной, о скорости света в среде тоже сказано явно. Очень уж народ напугала ультрафиолетовая катастрофа, не хотелось тут же начинать "парадокс охрененно черного тела".

Но вернемся к нашему вечному двигателю. Нам не удастся сделать черное тело еще чернее, погрузив его в среду – согласно поправленной формуле оно начнет излучать в n2 больше при той же температуре, что восстановит равновесие, по крайней мере, в ситуации с двумя пластинами. А может, тогда получится сделать наоборот: подобрав правильную форму границы раздела, выпустить все излучение наружу, и получится, что черное тело излучает больше, чем нужно?

Это вполне реально. Возьмем в этот раз сферически симметричную картину: нагретый шарик радиуса r по центру, помещенный внутрь стеклянного шара. Если границу раздела расположить достаточно далеко от нагретого шарика, то все излучение сможет выйти наружу, как показано на рисунке. Шарик будет излучать больше, чем в воздухе или в вакууме при той же температуре. Но второго закона термодинамики это не нарушит, потому что снаружи все выглядит так, будто лучи идут с шарика радиусом nr, поэтому и неудивительно, что так много излучается – площадь поверхности возросла! И собрать их на меньшую поверхность, не прибегая снова к погружению в среду, нам не удастся.

Мне кажется, можно устроить довольно красивую лабораторную работу на этой основе - подтвердить экспериментально, что одно и то же тело при одной и той же температуре будет излучать больше, если погрузить его в среду с большим показателем преломления.

Применительно к солнечным батареям и светодиодам главный вывод таков: «поиграться» с показателем преломления можно, вреда не будет, но никакого теоретического выигрыша нам это не даст. Солнечные лучи можно сильнее сфокусировать в воде или в стекле, чем на воздухе, но и нагреваемый объект будет сильнее излучать, поэтому смысла здесь немного.

В книгах по физике светодиодов можно встретить иногда «жалобу», что из полупроводника очень сложно вывести излучение наружу из-за высокого показателя преломления кремния и арсенида галлия – около 3,8. Дескать, если мы просто будем выводить излучение с торца, то наружу выйдет лишь 1/(3,8)2=7% всего света. Как мы видим, всегда есть возможность вывести наружу все излучение, но потребуется довольно большая «колба», а яркость лучей упадет, будет казаться, что свет излучается с большой поверхности – это плохо для проекционных систем, не позволяет его как следует сфокусировать. Но не надо винить в этом показатель преломления – на предыдущем этапе (генерация излучения) он здорово помог!

В следующей главе мы снова попытаемся так хорошо сфокусировать лучи, чтобы более холодное тело нагревало более горячее, на этот раз с помощью зеркал (и обычных, и односторонних, как показывают в детективах) и еще оптического изолятора. Конец будет немного предсказуем, зато мы найдем инвариант Штраубеля, сохраняющийся при распространении света в среде без поглощения и рассеяния, и будет нам счастье!

Литература
[1] Ландау, Лифшиц, Теоретическая физика том 5 - статистическая физика
[2] Ципенюк Ю.М - Квантовая микро- и макрофизика, М.: Физматкнига, 2006 (учебник общей физики для МФТИ)
[3] Матвеев А.Н - Оптика
[4] Сивухин Д.В - общий курс физики, т.4 - оптика
[5] Королев Ф.А - теоретическая оптика
[6] Волосов Д.С, Цивкин М.В - Теория и расчет светооптических систем
[7] Лазарев Л.П - Инфракрасные и световые приборы самонаведения и наведения летательных аппаратов
[8] Бегунов Б.Н, Заказнов Н.П - теория оптических систем
[9] Peter Wurfel - Physics of solar cells, from principles to new concepts
Tags: маньяк-эколог, математика, теоретический КПД солнечной батареи
Subscribe

  • Огари разговаривают

    Сегодня по пути на работу встретил огарей прямо в Лосином острове, на берегу Яузы. Эти были на удивление бесстрашны, занимались своими делами, не…

  • Очень запоздало о лыжах

    Давненько (с 16 февраля) не писал о лыжах, хотя каждую неделю катался. Первый раз - на Гремячий и назад, с разведкой нового пути к маленькому…

  • Воскресная прогулка в сторону Гремячего

    Не было особенных планов "доехать во что бы то ни стало", хотел просто посмотреть "что вообще творится"? после обильных снегопадов в пятницу-субботу.…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 18 comments

  • Огари разговаривают

    Сегодня по пути на работу встретил огарей прямо в Лосином острове, на берегу Яузы. Эти были на удивление бесстрашны, занимались своими делами, не…

  • Очень запоздало о лыжах

    Давненько (с 16 февраля) не писал о лыжах, хотя каждую неделю катался. Первый раз - на Гремячий и назад, с разведкой нового пути к маленькому…

  • Воскресная прогулка в сторону Гремячего

    Не было особенных планов "доехать во что бы то ни стало", хотел просто посмотреть "что вообще творится"? после обильных снегопадов в пятницу-субботу.…