nabbla (nabbla1) wrote,
nabbla
nabbla1

Category:

УТ БПФ: раздел 1, продолжение

Наверное, это лучше поставить в самое начало, а уже потом четкое определение, что такое ДПФ и особенности работы с действительными данными (а не с произвольными комплексными). К сожалению, до конца не привел переход от сигнала бесконечной длительности к ограниченному по времени сигналу. Довольно скользкая тема. Как-никак, принцип неопределенности - нельзя одновременно ограничить себя и по частоте, и по длительности, так не бывает. Ну или бывает, если пренебречь длинными гауссовыми хвостами.

О связи ДПФ и спектра непрерывного сигнала. Теорема Котельникова.
Рассмотрим комплексный непрерывный сигнал x(t), принадлежащий классу L2, т.е


Его спектр X(f) задается выражением (прямое преобразование Фурье)

Тогда сигнал и его спектр связаны взаимно-однозначным соответствием. При известном спектре X(f) сигнал задается обратным преобразованием Фурье:


Сформулируем теорему Котельникова:
Если сигнал x(t) строго ограничен частотой fв (X(f)=0 при |f|≥fв), то можно дискретизовать его с частотой fд=2fв, и этих выборок будет достаточно, чтобы по ним полностью восстановить сигнал.
Доказательство.
Построим функцию Xпер(f) путем циклического повторения X(f) с периодом 2fв:
Xпер(f+2kfв)=Xпер(f) для любого k∈Z,
Xпер(f)=X(f) при –fв≤f≤fв.
Спектр X(f) от непрерывной функции пространства L2 будет непрерывным, кроме того, по условию X(fв)=X(-fв)=0, поэтому и циклическое продолжение не будет иметь разрывов.
Значит, Xпер(f) может быть разложен в ряд Фурье:

где амплитуды отдельных гармоник определяются по формуле

и с точностью до постоянного множителя представляют собой не что иное, как отсчеты исходного сигнала, взятые с частотой fд.
Таким образом, зная отсчеты xк=x(k/fд), можно восстановить функцию Xпер(f), а она точно совпадает с искомым спектром X(f) на промежутке [-fв;fв]. Спектр однозначно определяет сигнал, значит, он полностью может быть восстановлен из своих отсчетов, что и требовалось доказать.

Заметим, что строгое ограничение частоты необходимо. Без условия F(fв)=F(-fв)=0 циклически продолженная функция может иметь разрыв, из-за чего ряд Фурье в этих точках не будет сходиться к ее значениям.
Пример. Попытаемся дискретизовать функцию x(t)=sin πt с частотой 1 (это и есть удвоенная верхняя частота). Берем отсчеты 0,1,2,3 и получаем только нули. Очевидно, что по ним исходную функцию восстановить невозможно.
Можно смягчить условие, потребовав лишь равенства F(fв)=F(-fв), что равносильно наличию на этой частоте только четной составляющей, но это не имеет большого физического смысла. Обычно предполагается, что сигнал, подлежащий оцифровке, и генератор тактовой частоты, по которому делаются выборки сигнала, независимы, не связаны какими-то фазовыми зависимостями. Поэтому наличие в сигнале только четной компоненты весьма сомнительно. На самом деле, в реальных приложениях оставляют еще запас около 10% по частоте, чтобы можно было обойтись фильтром низкой частоты 1-2 порядка.

Человек слышит частоты от 20Гц до 20кГц. Для качественной записи звука, согласно теореме Котельникова, необходима частота более 40кГц. На деле берется 44.1кГц в Audio-CD, а сейчас часто используется и 48 кГц, 96кГц и даже 192кГц.

Дискретное преобразование Фурье
До сих пор рассматривался сигнал бесконечной длительности. Но при оцифровке сигнала мы вынуждены взять лишь часть этого сигнала. Математически это можно записать, как домножение сигнала на оконную функцию w(t):
xогр(t)=x(t)w(t)
Оконная функция должна равняться нулю везде, кроме интервала [0;T] (во временнОй области логичнее начинать с нуля и двигаться в сторону увеличения).
Самая простая оконная функция-прямоугольная:

Перемножение функций во временной области эквивалентно свертке в частотной. У wпрям(t) широкий спектр, затухающий лишь как 1/f, что приводит к появлению сильных боковых лепестков. То есть просто за счет резкого включения и выключения сигнала на t=0 и t=T, спектр расширится и выделить необходимые компоненты будет затруднительно.
Поэтому чаще применяют другие оконные функции, такие как функция Ханна, Хэмминга, Блэкмана и другие.
В любом случае, если наша задача состоит в получении спектра исходного сигнала, это можно сделать лишь приближенно.
Если же говорить о функции xогр(t), то она более не может иметь ограниченную частоту (ее спектр является сверткой исходного спектра X(f) и спектра оконной функции, который бесконечен), поэтому дискретизовать ее напрямую, опираясь на теорему Котельникова, нельзя.
Можно, однако, предполагая, что xогр(0)=xогр(T), продолжить ее циклически с периодом T, после чего разложить в ряд Фурье. Наконец, предполагая ограниченность частоты, приходим к формулировке дискретного преобразования Фурье – в нем дискретны и сигнал (это допустимо сделать, поскольку он ограничен по частоте), и его спектр (поскольку сигнал ограничен по времени и мы можем его циклически продолжить, что приводит к появлению в спектре только частот, кратных 1/T).
Запишем формулу ДПФ:

Здесь N – число отсчетов. Если оно четно, то

Этот компонент соответствует половине частоты дискретизации сигнала, которая, как было показано ранее, не может быть восстановлена полностью – только четная часть. Действительно, X(0) – это постоянная составляющая сигнала. Для прочих n, не равных 0 или N/2 имеем парные компоненты X(n) и X(N-n), соответствующие частоте n/N и –n/N. Частота Найквиста (так называют этот отсчет) не имеет пары, а при взятии ДПФ от действительного сигнала ее мнимая часть равна нулю.
Компонента X(N/2) не имеет явного физического смысла, но необходима в ДПФ с четным числом отсчетов, чтобы получить обратимое преобразование.
Эта особенность ДПФ с четным N может приводить к ошибкам.
Пример. В антенной технике для вычисления диаграммы направленности нужно взять преобразование Фурье от амплитудно-фазового распределения напряженности электрического поля в апертуре антенны. Если нас интересуют углы от -90 до +90 град. от нормали, можно заменить непрерывное распределение на отсчеты, отстоящие на λ/2 и использовать ДПФ. Это вполне устоявшаяся практика, приводящая к правильным результатам, но с одним исключением: ни в коем случае нельзя так поступать с антеннами осевого излучения! В этом случае сразу придем к результату, что такая антенна излучает одинаково как вперед, так и назад, что не соответствует действительности.
При использовании ДПФ с нечетным числом отсчетов названные проблемы снимаются: каждая компонента частоты имеет ясный физический смысл и становится возможным расположить их так, как это привычно для математиков и физиков, с нулем посередине.





Tags: математика, моделирование, статьи, троичная система счисления, уравновешенное троичное БПФ
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 9 comments