nabbla (nabbla1) wrote,
nabbla
nabbla1

Categories:

Чему равна сумма всех натуральных чисел?

Сегодня доказывал своим студентам, что

1+2+3+4+…=-1/12.

Они смотрели на меня как на идиота, но потом я показал им отрывок из книги «Начальный курс теории струн», где этот результат используется (среди прочего) для вывода, что в нашей вселенной должно быть ровно 26 измерений, иначе вся эта математика тупо не имеет никакого смысла.


Строгого доказательства я дать не могу (для этого нужно очень точно определить, что мы вообще делаем), но в целом оно работает так.
Начнем со старой доброй суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Возьмем производную от левой и правой части:

Сделаем первый финт ушами, найдем значение этого ряда при x=-1:

Запись не самая корректная, но что-то в этом есть. Примерно также, как можно «на пальцах» ввести дельта-функцию как гауссову кривую с σ, стремящимся к 0, так и здесь – мы устремляем x к -1 и плавно приходим к значению ¼.
Уже странный результат, ведь ряд 1-2+3-4+… расходится. Ну ладно, продолжим.
Есть такая злая штука – дзета-функция Римана,

где s – комплексное число. Нормально она определена при Re(s)>1, нас же интересует точка s=-1:

Сейчас будет второй финт ушами.

(мы вычли один ряд из другого и привели подобные члены)
До тех пор, пока ряд сходится, такие маневры проводить вполне допустимо.
Но мы снова заинтересуемся точкой s=-1. Подставим -1 в выражение выше:

И, наконец, поделим на -3:

Вообще, тот же результат получается, если сделать аналитическое продолжение дзета-функции и найти ее значение при s=-1.
Вот как этим результатом пользуются струнные теоретики:



Теперь студенты смотрят как на идиота не только на меня, но и на струнных теоретиков.
Tags: математика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 25 comments